Question

如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F．试说明：（1）△CBE≌△CDF

如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F．试说明：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+AD=2AF．

Answer 1

证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABC+∠D=180°
∴∠CBE=∠D，
在△CBE与△CDF中，

∠CBE＝∠D ∠BEC＝∠CFD CE＝CD

∴△CBE≌△CDF（AAS）；
         
（2）∵△CBE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠E=∠AFC=90°，
在Rt△AEC与Rt△AFC中，

AC＝AC CE＝CF

∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE=AF，
∴AB+AD=AE+AF，
∴AB+AD=2AF．