Question

求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍

求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍数．

Answer 1

证明：105=7×5×3
7的剩余系为{0，1，2，3，4，5，6}有7个数
任意8个数必有两个对于7剩余相同
设为a，b，则7|（a-b）
同理：5的剩余有5个数
剩下8-2=6个数必有两个对于5剩余相同
设为c，d，则5|（c-d）
对于3的剩余同理可得
有两个数对3剩余相同
设为e，f，则3|（e-f）
这样取到了六个数a，b，c，d，e，f，且满足（a-b）是7的倍数，（c-d）是5的倍数，（e-f）是3的倍数．所以（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍数．证毕