Question

已知函数f（x）=x3-3ax2+4，其中a≥0．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求函数f（x）在

已知函数f（x）=x3-3ax2+4，其中a≥0．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³-3x²+4，f′（x）=3x²-6x．（2分）
令f′（x）=0，得x=0或x=2．
所以，在区间（-∞，0）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，
在区间（0，2）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，
在区间（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．（4分）
所以，函数f（x）的极小值点为x=2，极小值为f（2）=0，
极大值点为x=0，极大值为f（0）=4．（8分）
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=x³+4是R上的增函数，
在区间[0，+∞）上的最小值为f（0）=4．（10分）
当a＞0时，f′（x）=3x（x-2a）．
在区间（0，2a）上f′（x）＜0，f（x）是减函数，
在区间（2a，+∞）上f′（x）＞0，f（x）是增函数．（12分）
所以，在区间[0，+∞）上f（x）的最小值为f（2a），（13分）
f（2a）=8a³-12a³+4=4-4a³．（14分）
综上，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为4-4a³．