Question

设函数f（x）是以2π为周期的偶函数，且f（x）二阶可导，求方程f′（x）+2f（x）-3∫x0f（t-x）dt=sinx-1

设函数f（x）是以2π为周期的偶函数，且f（x）二阶可导，求方程f′（x）+2f（x）-3∫x0f（t-x）dt=sinx-12cosx的解．

Answer 1

因为f是偶函数，f（-x）=f（x），所以

∫

x 0

f(t?x)dt 

令u＝x?t  .

∫

0 x

f(?u)(?du)=

∫

x 0

f(?u)du=

∫

x 0

f(u)du． 
从而，原方程可化为f′(x)+2f(x)?3

∫

x 0

f(u)du＝sinx?

1

2

cosx，
两边对x求导得到：f″(x)+2f′(x)?3f(x)＝cosx+

1

2

sinx．①
齐次方程f″（x）+2f′（x）-3f（x）=0的通解为：

.

y

＝c1 e?3x+c2 ex．
设①的特解为：y*=Acosx+Bsinx，代入①可得，
A=?

1

4

，B=0，
故 y*=?

1

4

cosx．
所以，①的通解为
f（x）=

.

y

+y*=c1 e?3x+c2 ex?

1

4

cosx．
因为f（x）为周期是2π的偶函数，所以f（x）=?

1

4

cosx．