已知△ABC是等边三角形,点D是射线BC上一动点(直D不与B、C重合),以AD为边在AD的左侧作等边△ADE,过点

已知△ABC是等边三角形,点D是射线BC上一动点(直D不与B、C重合),以AD为边在AD的左侧作等边△ADE,过点E作BC的平行线交射线AB、AC于点F、G.(1)当点D... 已知△ABC是等边三角形,点D是射线BC上一动点(直D不与B、C重合),以AD为边在AD的左侧作等边△ADE,过点E作BC的平行线交射线AB、AC于点F、G.(1)当点D在线段BC上运动时,判断四边形BCGE是什么四边形?说明理由;(2)当点D在线段BC的延长线上运动时,(1)中的两个结论还成立吗?(3)当点D在什么位置时,四边形BCGE是菱形?说明理由. 展开
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高纷咬版侠2f
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证明:(1)四边形BCEF是平行四边形,
理由如下:
如图1,∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°.
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD.
即∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中,
AB=AC
∠BAE=∠CAD
AE=AD

∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
∴∠ABE=∠BAC.
∴BE∥CF.
又EF∥BC,
∴四边形BCEF是平行四边形;

(2)(1)中的结论仍然成立,
理由如下:
如图2,∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC-∠EAG=∠DAE-∠EAG.
即∠BAE=∠DAC.
在△ABE和△ACD中,
AB=AC
∠BAE=∠CAD
AE=AD

∴△AEB≌△ADC(SAS).
四边形BCEG是平行四边形.
由△AEB≌△ADC得:∠ABE=∠ACD.
而∠ACD=180°-∠ACB=120°,
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+∠CBE=120°.
∴∠CBE=60°.
∵∠DCG=∠ACB=60°(对顶角相等),
∴∠DCG=∠CBE.
∴CG∥BE.
又BC∥EF,
∴四边形BCEF是平行四边形;

(3)当CD=CB时,四边形BCEF是菱形,理由如下:
由△AEB≌△ADC得:BE=CD.
又∵CD=CB,
∴BE=CB.
由上知:四边形BCEF是平行四边形.
∴四边形BCEF是菱形.
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