Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= - 4 3 x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD= 1

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= - 4 3 x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD= 1 4 OB，AC= 1 4 AB，过点C作CE⊥OA于点E，点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N，过点N作NP ∥ AB，交OB于点P，当点N与点O重合时点M停止运动．设AN=a．（1）求点C的坐标；（2）用含a的代数式表示NP；（3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵一次函数y= - 4 3 x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点， ∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8）， ∴OA=6，OB=8， ∴AB= OA 2 +OB 2 =10， ∴OD= 1 4 OB=2，AC= 1 4 AB= 5 2 ， ∴OD：OB=AC：AB=1：4， ∴CD ∥ OA， ∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB， ∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形， ∴MN=CE=OD=2，DM=ON， ∴AE= AC 2 -CE 2 = 3 2 ， ∴OE=OA-AE=6- 3 2 = 9 2 ， ∴点C的坐标为：（ 9 2 ，2）； （2）∵NP ∥ AB， ∴ ON OA = NP AB ， ∵AN=a， ∴ON=OA-AN=6-a， ∴ NP 10 = 6-a 6 ， 解得：NP= 30-5a 3 ； （3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下： 过点D作DQ ∥ AB交OA于Q，则 OQ OA = OD OB ，即 OQ 6 = 2 8 ， 解得OQ=1.5， ∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5． ∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形． 分两种情况讨论： ①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图． ∵NP ∥ AB， ∴ ON OA = OP OB ， ∴ OP 8 = 6-a 6 ， 解得：OP= 24-4a 3 ， ∴PD=OP-OD= 18-4a 3 ， ∴PM 2 =PD 2 +DM 2 =（ 18-4a 3 ） 2 +（6-a） 2 = 25 a 2 -252a+648 9 ． 由于PN＞MN，所以当△MNP为等腰三角形时，可能有两种情况： 当PM=MN时， 25 a 2 -252a+648 9 =4，解得a 1 =4.08，a 2 =6（不合题意，舍去）； 当PM=PN时， 25 a 2 -252a+648 9 =（ 30-5a 3 ） 2 ，解得a=5.25（不合题意，舍去）； ②当4.5＜a＜6，即点P在点D下方时，如右图． ∵NP ∥ AB， ∴ ON OA = OP OB ， ∴ OP 8 = 6-a 6 ， 解得：OP= 24-4a 3 ， ∴PD=OD-OP= 4a-18 3 ， ∴PM 2 =PD 2 +DM 2 =（ 4a-18 3 ） 2 +（6-a） 2 = 25 a 2 -252a+648 9 ． 当△MNP为等腰三角形时，可能有三种情况： 当PM=MN时， 25 a 2 -252a+648 9 =4，解得a 1 =4.08，a 2 =6（均不合题意，舍去）； 当PM=PN时， 25 a 2 -252a+648 9 =（ 30-5a 3 ） 2 ，解得a=5.25； 当PN=MN时， 30-5a 3 =2，解得a=4.8． 综上可知，存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，此时满足要求的a的值为4.08或4.8或5.25．