Question

已知函数 f(x)=lnx-ax+ 1-a x -1(a∈R) ．（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的

已知函数 f(x)=lnx-ax+ 1-a x -1(a∈R) ．（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（II）当 a≤ 1 2 时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（I）当a=-1时，f（x）=lnx+x+ 2 x -1，x∈（0，+∞）， 所以f′（x）= 1 x +1- 2 x 2 ，因此，f′（2）=1， 即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1， 又f（2）=1n2+2，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln2+2）=x-2， 所以曲线，即x-y+ln2=0； （Ⅱ）因为 f(x)=lnx-ax+ 1-a x -1 ， 所以 f′(x)= 1 x -a+ a-1 x 2 = - a x 2 -x+1-a x 2 ，x∈（0，+∞）， 令g（x）=ax 2 -x+1-a，x∈（0，+∞）， （1）当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞）， 所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0， 此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； （2）当a≠0时，由g（x）=0， 即ax 2 -x+1-a=0，解得x 1 =1，x 2 = 1 a -1． ①当a= 1 2 时，x 1 =x 2 ，g（x）≥0恒成立， 此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减； ②当0＜a＜ 1 2 时， x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， x∈（1， 1 a -1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， x∈（ 1 a -1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； ③当a＜0时，由于 1 a -1＜0， x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减； x∈（1，∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＞0函数f（x）单调递增． 综上所述： 当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减； 函数f（x）在（1，+∞）上单调递增 当a= 1 2 时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减 当0＜a＜ 1 2 时，函数f（x）在（0，1）上单调递减； 函数f（x）在（1， 1 a -1）上单调递增； 函数f（x）在（ 1 a -1，+∞）上单调递减．