Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC． （1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos∠ACD= ，求⊙O的半径．

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Answer 1

解：（1）直线MN与⊙O的位置关系是相切。理由如下： 连接OC， ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∵∠CAB=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA。∴OC∥AD。 ∵AD⊥MN，∴OC⊥MN。 ∵OC为半径，∴MN是⊙O切线。 （2）∵CD=6， ，∴AC=10。 由勾股定理得：AD=8。 ∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，∴∠ACB=∠ADC=90°。 ∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB。 ∴ ，即 。 ∴AB=12.5。∴⊙O半径是 ×12.5=6.25。

试题分析：（1）连接OC，推出AD∥OC，从而得OC⊥MN，根据切线的判定推出即可。 （2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可。