Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c（1+cosA）= 3 a?sinC （1）求角A的大小；

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c（1+cosA）= 3 a?sinC （1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为 3 ，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）由已知及正弦定理得sinC（1+cosA）= 3 sinAsinC， ∵sinC≠0，∴1+cosA= 3 sinA，即 3 sinA-cosA=2（ 3 2 sinA- 1 2 cosA）=2sin（A- π 6 ）=1， ∴A- π 6 = π 6 或A- π 6 = 5π 6 （舍去）， ∴A= π 3 ； （2）∵a=2，cosA=cos π 3 = 1 2 ， 由余弦定理猜颤饥得：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA，即b 2 +c 2 -bc=4，① ∵洞碰△ABC的面积为 3 ，即 1 2 bcsinA= 3 4 bc= 3 ， ∴bc=4，② 联立①②得：（b+c） 2 =4+3bc=16， ∴b+c=4， 则△ABC周长为穗返a+b+c=2+4=6．