Question

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）（1）求f（x）的极值；（2）求f（x）在[1，2]上的最小值

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）（1）求f（x）的极值；（2）求f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=x-alnx（a∈R），
∴f′（x）=1-

a

x

=

x?a

x

，x＞0．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，没有极值；
当a＞0时，由f′（x）=0，得x=a，
∵x∈（0，a）时，f′（x）0．
∴f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）-a-alna，无极大值，
综上：当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-alna，无极大值．
（2）由（1）知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，
∴f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1；
②当a＞0时，由f′（x）=0，得x=a，
∵x∈（0，a）时，f′（x）0．
∴f（x）在x=a处取得极小值，
（i）当0＜a≤1时，f（1）=1，f（2）=2-aln2，
f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1；
（ii）当1＜a＜2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=a-alna；
（iii）当a≥2时，f（1）=1，f（2）=2-aln2，
f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=2-aln2．
∴f（x）在[1，2]上的最小值：
f（x）_min=

1，a≤1 a?alna，1＜a＜2 2?aln2，a≥2

．