Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（　　）A．等边三角形B．

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（　　）A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形

Answer 1

解答：解法1：∵cosB ＝

a2+c2?b2

2ac

，cosC ＝

a2+b2?c2

2ab

，
∴acosB+acosC=a?

a2+c2?b2

2ac

+a?

a2+b2?c2

2ab

=

a2?b +b?c2?b3+b2? c+a2?c?c3

2bc

=

a2(b +c)+bc(b+c)?b3?c3

2bc

=

a2(b +c)+bc(b+c)?(b+c)(b2?bc+c2)

2bc

=b+c，∵b+c＞0，
∴a²-b²-c²+2bc=2bc，
∴a²=b²+c²，
故选D．
解法2：由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能为钝角，过点C向AB作垂线，垂足为D，则acosB=BD≤BA=c，同理acosC≤b，
∴acosB+acosC≤b+c，
又∵acosB+acosC=b+c，
∴acosB=c，acosC=b，∴∠A=90°；
故选D．