Question

已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若

已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．

Answer 1

∵x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，x₁x₂=

a

a?6

，x₁+x₂=-

2a

a?6

；
∵一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0有两个实数根，
∴△=4a²-4（a-6）?a≥0，且a-6≠0，
解得，a≥0，且a≠6；
（1）∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+（x₁+x₂），即

a

a?6

=4-

2a

a?6

，
解得，a=24＞0；
∴存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立，a的值是24；

（2）∵（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=

a

a?6

-

2a

a?6

+1=-

6

a?6

，
∴当（x₁+1）（x₂+1）为负整数时，a-6＞0，且a-6是6的约数，
∴a-6=6，a-6=3，a-6=2，a-6=1，
∴a=12，9，8，7；
∴使（x₁+1）（x₂+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．