Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，侧棱长为22a，点D在棱A1C1

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，侧棱长为22a，点D在棱A1C1上．（1）若A1D=DC1，求证：直线BC1∥平面AB1D；（2）求AB1与侧面BCC1B1所成角的大小；（3）请在棱A1C1确定点D的位置，使二面角A1-AB1-D的平面角为π4，并证明你的结论．

Answer 1

解答：解：（1）证明：连接A₁B交AB₁于E点，
在平行四边形ABB₁A₁中，有A₁E=BE，又A₁D=DC₁
∴DE为△A₁BC₁的中位线，从而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直线BC₁∥平面AB₁D
（2）取BC中点F，连AF，B₁F
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，
又AC=a，BC=a，AB=a知AF⊥BC，∴AF⊥面BCC₁B₁
又F为BC中点，∴DF=

3

2

a，⊥面BCC₁B₁
∴AB₁在平面BCC₁B₁内的射影为FB₁
∴AB₁与平面BCC₁B₁的所成角为∠AB₁F
在RT△FB₁A中，B₁B=

2

2

a，BF=

( 1 2 a)2+( 2 2 a)2

=

3

2

a，
∴∠AB₁F=45°．
（3）连接MN，过A₁作A₁F⊥AB₁于F．
由（2）中的作法可知：∠MND为二面角A₁-AB₁-D平面角，
设

A1D

A1C1

=λ，则

A1M

A1B1

=

λ

2

，
则可得DM=

3 a

2

λ，A1F=

3

3

a，

MN

A1F

=1-

λ

2

?MN=

3 a

3

（1-

λ

2

），
∴tanθ=

DM

MN

=

3 a 2 λ

3 a 3 (1? λ 2 )

=-3+

6

2?λ

．∴-3+

6

2?λ

=1?λ=

1

2

即点D在棱A₁C₁上，且

A1D

A1C1

=

1

2

时，
二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为

π

4

．