Question

导数问题！求解！

长方形ABCD在等腰三角形里，点A、D在三角形的两条等边上, BC在底边。AB = 2， BC = 6， 找到底角使等腰三角形面积最小。

要用到导数。求解！

Answer 1

设三角形底边长为a，高为h，底角为α，面积为S。

那么根据图中比例关系有：

a=2（3+2/tan(α)）

h=2+3*tan(α)

所以S(α)=a*h/2=12+4cot(α)+9tan(α)

S'=9/cos^2(α)-4/sin^2(α)=0时求的tan(α)=2/3,(α大于0小于pi，tan(α)>0，负数舍去)

所以α=arctan(2/3)三角形面积最小

Answer 2

设B到近的底角距离为x
所以 s=((6+2x0^2)/2x
所以 s'=(8x*(2x+6)-2(2x+6)^2)/（2x）^2
令 s'=0 解得 x=3
所以 对此时底角α tanα=2/3
所以 底角α=arct2/3

Answer 3

解：设等腰三角形EFG，E为二等边顶点。设∠E的一半为α,α∈(0,90°)，S=1/2*（3/tanα+2)*(6+2*2tanα)=12+9/tanα+4tanα。到这了不用导数了，a+b≥2√ab。Smin=24
导数的话，S'=4/cos^2α-9/sin^2α=0, cos^2α=4/13.底用就是π/2-arccos√4/13.

Answer 4

设底角为：x，则底边长为：6+4/tanx，高为：(3+2/tanx)*tanx=3tanx+2，
所以等腰三角形面积为：y=1/2*(6+4/tanx)(3tanx+2)=9tanx+4/tanx+12， （0<x<π/2）
故y'=9(secx)^2-4(secx)^2/(tanx)^2=9/(cosx)^2-4/(sinx)^2，
令y'=0，得：(tanx)^2=4/9，
因为0<x<π/2，所以tanx=2/3，
x=arctan(2/3)。
0<x<arctan(2/3)时，sinx/cosx<2/3， y'<0， y递减；
arctan(2/3)<x<π/2时， sinx/cosx>2/3， y'>0 ， y递增。
所以当x=arctan(2/3)时，函数y=9tanx+4/tanx+6在(0，π/2)有最小值。
最小值为：y=24。
即当等腰三角形的底角为arctan(2/3)时，等腰三角形面积最小，最小值为：24。