Question

如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点 为C，连接AC．（1）若∠CPA=

如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点 为C，连接AC．（1）若∠CPA=30°，求PC的长；（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小．

Answer 1

（1）连接OC， ∵AB=4，∴OC=2 ∵PC为⊙O的切线，∠CPO=30° ∴PC= OC tan30° = 2 3 3 =2 3 ； （2）∠CMP的大小没有变化． 理由如下：∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A= 1 2 ∠COP（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ∠MPA= 1 2 ∠CPO（角平分线的性质）， ∴∠CMP=∠A+∠MPA= 1 2 ∠COP+ 1 2 ∠CPO= 1 2 （∠COP+∠CPO）= 1 2 ×90°=45°．