Question

已知函数f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝ 时，求f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成

已知函数f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝ 时，求f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．





Answer 1

（1） （2）a＞－3

(1)当a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2. 设x 1 ＞x 2 ≥1，则f(x 1 )－f(x 2 )＝(x 1 －x 2 )＋ ＝(x 1 －x 2 )· . ∵x 1 ＞x 2 ≥1，∴f(x 1 )＞f(x 2 )，∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数． ∴f(x)≥f(1)＝ ，即f(x)的最小值为 . (2)∵f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立， 即x 2 ＋2x＋a＞0在[1，＋∞)上恒成立， ∴a＞[－(x 2 ＋2x)] max . ∵t(x)＝－(x 2 ＋2x)在[1，＋∞)上为减函数， ∴t(x) max ＝t(1)＝－3,∴a＞－3.