Question

设抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为

设抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　） A．y 2 =4x或y 2 =8x B．y 2 =2x或y 2 =8x C．y 2 =4x或y 2 =16x D．y 2 =2x或y 2 =16x

Answer 1

∵抛物线C方程为y 2 =2px（p＞0） ∴焦点F坐标为（ p 2 ，0），可得|OF|= p 2 ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM Rt△AOF中，|AF|= 2 2 +( p 2 ) 2 = 4+ p 2 4 ∴sin∠OAF= |OF| |AF| = p 2 4+ p 2 4 ∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点， ∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF= |AF| |MF| = p 2 4+ p 2 4 ， ∵|MF|=5，|AF|= 4+ p 2 4 ∴ 4+ p 2 4 5 = p 2 4+ p 2 4 ，整理得4+ p 2 4 = 5p 2 ，解之可得p=2或p=8 因此，抛物线C的方程为y 2 =4x或y 2 =16x 故选：C