Question

已知抛物线的方程为y2=4x，直线L过定点P（-2，1），斜率为k．当k为何值时直线与抛物线：（1）只有一个公

已知抛物线的方程为y2=4x，直线L过定点P（-2，1），斜率为k．当k为何值时直线与抛物线：（1）只有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点．

Answer 1

由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=

1

2

或k=-1．
综上可得，k=

1

2

或k=-1或k=0；
（2）由（1）得2k²+k-1＜0，∴-1＜k＜

1

2

；
（3）由（1）得2k²+k-1＞0，∴k＞

1

2

或k＜-1．