Question

已知函数f（x）=x-1+aex（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平

已知函数f（x）=x-1+aex（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=x-1，求a的值；（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

（1）函数f（x）=x-1+

a

ex

的导数f′（x）=1-

a

ex

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=x-1，
∴f′（1）=1，即1-

a

e

=1，
∴a=0；
（2）导数f′（x）=1-

a

ex

，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；
②当a＞0时，e^x＞a时即x＞lna，f′（x）＞0；e^x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，
故x=lna为f（x）的极小值点，且极小值为lna-1+1=lna，无极大值．
综上，a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）有极小值lna，无极大值．