Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（Ⅰ）若xf'（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（Ⅰ）若xf'（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝

x+1

x

+lnx?1＝lnx+

1

x

，
xf'（x）=xlnx+1，
题设xf'（x）≤x²+ax+1等价于lnx-x≤a．
令g（x）=lnx-x，则g′(x)＝

1

x

?1
 当0＜x＜1，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，
g（x）≤g（1）=-1
 综上，a的取值范围是[-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0．
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x(lnx+

1

x

?1)=lnx?x(ln

1

x

?

1

x

+1)≥0
 所以（x-1）f（x）≥0