Question

如图（1），在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC=8，连接AB、O1

如图（1），在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC=8，连接AB、O1B．（1）AB的长=1010；（2）求证：∠ABO1=∠ABO；（3）如图（2），过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O2的大小变化时，∠ABO1与∠AMN始终相等，问BM-BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM-BN的值．

Answer 1

（1）作O₁E⊥BC于点E，
∴E为BC的中点，
∵BC=8，
∴BE=

1

2

BC=4，
∵A（-3，0），
∴O₁E=OA=3，
在直角三角形O₁BE中，
根据勾股定理得：O₁B=

BE2+O1B2

=

42+32

=5，
∴O₁A=EO=5，
∴BO=5-4=1，
在直角三角形AOB中，
根据勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=

10

．
故答案为：

10

；
                              
（2）证明：连接O₁A，则O₁A⊥OA，
又∵OB⊥OA，
∴O₁A∥OB，∠O₁AB=∠ABO，
又∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴∠ABO₁=∠ABO；

（3）BM-BN的值不变．
理由为：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AN、AG，
∵∠ABO₁为四边形ABMN的外角，
∴∠ABO₁=∠ABO，∠ABO₁=∠AMN，
∴∠ABO=∠AMN，
又∵∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG、∠ANB都为AB弧所对的圆周角，
∴∠AMG=∠ANB
∵在△AMG和△ANB中，

AM＝AN ∠AMG＝∠ANB MG＝BN

，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不变．