Question

如何利用向量判断三角形的形状？

Answer 1

比如三角形的三边对应的三个向量a，b，c a·b=b·c=c·a，可以用4种方法判断它的形状
1．（根据对称性）条件 a?b=b?c=c?a中a，b，c是对称的，从而判断其为等边三角形。

2. 因为a+b=c，所以由a?c=b?c得a?(a+b=b?(a+b))，从而a^2=b^2，即 。同理可得b=c,所以是等边三角形。

3. 由a?c=b?c得(a-b) ?c=0，即a-b垂直于c。在该直角三角形中由勾股定理得a^2+c^2=4b^2。同理可得a^2+b^2=4c^2。两式相减并化简可得b=c.同理 .所以是等边三角形。

4. 由a?c=b?c得， 。而在三角形 中有余弦公式
b^2=a^2+c^2-2bccosB, a^2=b^2+c^2-2bccosA。由这三个等式可得 。同理 .所以是等边三角形。

Answer 2

求向量夹角可以判断三角形的形状，如果两条边表示成向量以后数量积为0，那就是直角三角形