Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y 2 =2x的焦点为F．设M是抛物线上的动点，则 MO MF 的最大值为

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y 2 =2x的焦点为F．设M是抛物线上的动点，则 MO MF 的最大值为______．

Answer 1

焦点F（ 1 2 ，0），设M（m，n），则n 2 =2m，m＞0，设M到准线x=- 1 2 的距离等于d， 则由抛物线的定义得 |MO| |MF| = |MO| d = m 2 +n 2 m+ 1 2 = m 2 +2m m 2 +m+ 1 4 = 1+ m- 1 4 m 2 +m+ 1 4 ， 令 m- 1 4 m 2 +m+ 1 4 =t，则tm 2 +（t-1）m+ 1 4 t+ 1 4 =0， 当t=0时， |MO| d =1； 当t≠0时，tm 2 +（t-1）m+ 1 4 t+ 1 4 =0有解的充要条件为：△≥0， 即（t-1） 2 -4t（ 1 4 t+ 1 4 ）≥0?1-3t≥0， ∴t≤ 1 3 ． ∴t max = 1 3 ，此时 ( |MO| d ) max = 1+ 1 3 = 2 3 3 ． 故答案为： 2 3 3 ．