Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n =na n -2n（n-1）（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求证：数列{a

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n =na n -2n（n-1）（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n的表达式；（Ⅱ）求 lim n→∞ ( 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 +…+ 1 a n-1 a n ) ；（Ⅲ）是否存在自然数n，使得 S 1 + S 2 2 + S 3 3 +…+ S n n =400 ？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当n≥2时，a n =S n -S n-1 =na n -（n-1）a n-1 -4（n-1），（2分） 得a n -a n-1 =4（n=2，3，4，）．（3分） ∴数列{a n }是以a 1 =1为首项，4为公差的等差数列．（4分） ∴a n =4n-3．（5分） S n = 1 2 ( a 1 + a n )n=2 n 2 -n ．（6分） （Ⅱ） lim n→∞ ( 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 ++ 1 a n-1 a n ) = lim n→∞ ( 1 1×5 + 1 5×9 + 1 9×13 ++ 1 (4n-7)(4n-3) ) = lim n→∞ 1 4 (( 1 1 - 1 5 )+( 1 5 - 1 9 )+( 1 9 - 1 13 )++( 1 4n-7 - 1 4n-3 )) （8分） = lim n→∞ 1 4 (1- 1 4n-3 ) = 1 4 ．（10分） （Ⅲ）由S n =2n 2 -n得： S n n =2n-1 ，（11分） ∴ S 1 + S 2 2 + S 3 3 ++ S n n =1+3+5+7++(2n-1)= n 2 ．（13分） 令n 2 =400，得n=20，所以，存在满足条件的自然数n=20．（14分）