Question

在△PAB中，已知A（- 6 ，0）、B（ 6 ，0），动点P满足|PA|=|PB|+4．（1）

在△PAB中，已知A（- 6 ，0）、B（ 6 ，0），动点P满足|PA|=|PB|+4．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M（-2，0），N（2，0），过点N作直线l垂直于AB，且l与直线MP交于点Q，试在x轴上确定一点T，使得PN⊥QT．

Answer 1

（1）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点． 设双曲线方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 ． 由已知，得 c= 6 2a=4 ，解得 c= 6 a=2 ，∴b 2 =c 2 -a 2 =2． ∴动点P的轨迹方程为 x 2 4 - y 2 2 =1(x＞2) ． （2）由题意，直线MP的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=2． 设MP的方程为y=k（x+2）． ∵点Q是l与直线MP的交点，∴Q（2，4k）．设P（x 0 ，y 0 ） 由 x 2 4 - y 2 2 =1 y=k(x+2) ，整理得（1-2k 2 ）x 2 -8k 2 x-（8k 2 +4）=0 则此方程必有两个不等实根x 1 =-2，x 2 =x 0 ＞2． ∴1-2k 2 ≠0，且-2x 0 = - 8 k 2 +4 1-2 k 2 ． ∴ y 0 =k( x 0 +2)= 4k 1-2 k 2 ．∴ P( 4 k 2 +2 1-2 k 2 ， 4k 1-2 k 2 ) ． 设T（t，0），要使PN⊥QT，只需 PN ? QT =0 ． 由N（2，0）， PN =(- 8 k 2 1-2 k 2 ，- 4k 1-2 k 2 ) ， QT =(t-2，-4k) ． ∴ PN ? QT =- 1 1-2 k 2 [8 k 2 (t-2)-16 k 2 ]=0 ． ∵k≠0，∴t=4，此时 PN ≠ 0 ， QT ≠ 0 ，∴所求T的坐标为（4，0）．