Question

如图所示，半径为R的光滑半圆轨道ABC与倾角为θ=37°的粗糙斜面轨道DC相切于C，圆轨道的直径AC与斜面垂直

如图所示，半径为R的光滑半圆轨道ABC与倾角为θ=37°的粗糙斜面轨道DC相切于C，圆轨道的直径AC与斜面垂直．质量为m的小球从A点左上方距A高为h的斜面上方P点以某一速度水平抛出，刚好与半圆轨道的A点相切进入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D处．已知当地的重力加速度为g，取 R= 50 9 h ，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，求：（1）小球被抛出时的速度v 0 ；（2）小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小；（3）小球从C到D过程中摩擦力做的功W．

Answer 1

（1）小球到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，如图所示． 则有  v 21 =2gh   ① 由几何关系得 v 0 =v 1 cotθ  ② 得 v 0 = 4 3 2gh   ③ （2）A、B间竖直高度H=R（1+cosθ）④ 设小球到达B点时的速度为v，则从抛出点到B过程中，根据机械能守恒有     1 2 m v 20 +mg(H+h)= 1 2 m v 2  ⑤ 在B点，有 F N -mg=m v 2 R ⑥ 联立解得 F N =5.6mg⑦ 由牛顿第三定律知，小球在B点对轨道的压力大小是F N ′=F N =5.6mg，方向竖直向下．             ⑧ （3）整个运动知过程中，重力做功为零，根据动能定理得知：小球沿斜面上滑过程中摩擦力做的功等于小球做平抛运动的初动能，有    W= 1 2 m v 20 = 16 9 mgh   ⑨ 答：（1）小球被抛出时的速度v 0 是 4 3 2gh ． （2）小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小是5.6mg，方向竖直向下． （3）小球从C到D过程中摩擦力做的功W是 16 9 mgh ．