Question

已知椭圆的一个顶点为B（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x-y+22=0的距离为3． （1）求椭圆的方程

已知椭圆的一个顶点为B（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x-y+22=0的距离为3． （1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点M、N，直线l的斜率为k（k≠0），当|BM|=|BN|时，求直线l纵截距的取值范围．

Answer 1

（1）∵椭圆的一个顶点为B（0，-1），
∴b=1，
∵焦点在x轴上，∴设右焦点F（c，0），c＞0
∵右焦点F到直线x-y+2

2

=0的距离为3，
∴3=

|c+2 2 |

2

，解得c=

2

．
∴a²=b²+c²=1+2=3，
∴椭圆方程为

x2

3

+y2＝1．
（2）设P为弦MN的中点，
由

y＝kx+m x2 3 +y2＝1

得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
由△＞0，得m²＜3k²+1  ①，
∴x_P=

xM+xN

2

＝?

3mk

3k2+1

，
从而y_P=kx_p+m=

m

3k2+1

．