Question

如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．（1）求证：AE=BF；

如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．（1）求证：AE=BF；（2）如图1，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明；（3）如图2，若AB=6，G为CB中点，连接CF，直接写出四边形CDEF的面积为______．

Answer 1

（1）证明：∵DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F，
∴BF⊥AG于点F，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△AFB和△DEA中，

∠AED＝∠BFA＝90° ∠BAF＝∠ADE AB＝AD

，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴BF=AE；

（2）DF=CE且DF⊥CE．
理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，
∴∠FAD=∠EDC，
∵△AFB≌△DEA，
∴AF=DE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
在△FAD和△EDC中，

AF＝DE ∠FAD＝∠EDC AD＝CD

，
∴△FAD≌△EDC（SAS），
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠DCF+∠CDF=90°，
∴DF⊥DE；

（3）∵AB=

6

，G为CB中点，
∴BG=

1

2

BC=

6

2

，
由勾股定理得，AG=

AB2+BG2

=

Answer 2

第三问可更简单：当G是BC的中点时，BG＝CG＝2分之根号6，且三角形BGF与三角形CGF的面积相等，又因为三角形ABF与三角形ADE全等，所以三角形ABG的面积与三角形ADE和三角形CFG面的和相等，所以四边形CFED的面积＝正方形ABCD的面积－2倍的三角形ABG的面积＝6－2乘二分之一乘二分之根号六乘根号六＝3