Question

若函数f（x）=ax3-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值，且函数f（x）图象上以点A（3，f（3））为切点的切线

若函数f（x）=ax3-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值，且函数f（x）图象上以点A（3，f（3））为切点的切线与直线5x-y+1=0平行．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若方程f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=ax³-bx+4，∴f′（x）=3ax²-b，
直线5x-y+1=0的斜率为5，
则由题意得，f′（2）=0，且f′（3）=5，即有12a-b=0且27a-b=5，
解得a=

1

3

，b=4，
∴f(x)＝

1

3

x3?4x+4．
（2）由（1）得，f'（x）=x²-4，令f'（x）=0，得x=2，或x=-2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，+2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	28 3	↘	? 4 3	↗

则函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）．
（3）由（2）得f（x）的极大值为f（-2）=

28

3

，极小值为f（2）=-

4

3

．
函数f(x)＝

1

3

x3?4x+4的图象大致如右：
若方程f（x）=k有3个解，需使直线y=k与函数
f(x)＝

1

3

x3?4x+4的图象有3个交点，
由图象可知：?

4

3

＜k＜

28

3

．