Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．（Ⅰ）若E为AD的中点，试在线段CD上找一点F，使 EF∥平面ABC，并加以证明；（Ⅱ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅲ）求几何体A-BCD的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）取DC的中点F，则F就是要确定的点，证明如下：
∵E为AD的中点，F是DC的中点，
∴EF∥AC，又EF在平面ABC外，AC在平面ABC内，
∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）证明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．
∴AC=

22+22

=2

2

，BC=

22+(4?2)2

＝2

2

，
∴AC²+BC²=16=AB²；
∴BC⊥AC，又∵平面ADC⊥平面ABC，
∴BC⊥平面ACD；
（Ⅲ）V_A-BCD=V_B-ACD=

1

3

×(

1

2

×2×2)×2

2

=

4 2

3

．