Question

（2010?石景山区一模）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分别是棱CC1、AB

（2010?石景山区一模）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分别是棱CC1、AB中点．（Ⅰ）求证：CF⊥BB1；（Ⅱ）求四棱锥A-ECBB1的体积；（Ⅲ）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，并加以证明．

Answer 1

解答：解：如图，
（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC；
又∵CF?平面ABC，∴CF⊥BB₁．

（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
且BB₁∩BC=B，∴AC⊥平面ECBB₁．
∴四棱锥VA?ECBB1的体积为
VA?ECBB1＝

1

3

SECBB1?AC．
由E是棱CC₁的中点，∴EC＝

1

2

AA1＝2．
∴SECBB1＝

1

2

(EC+BB1)?BC＝

1

2

×(2+4)×2＝6．
∴VA?ECBB1＝

1

3

SECBB1?AC＝

1

3

×6×2＝4．

（Ⅲ）解：CF∥平面AEB₁．现证明如下：
取AB₁的中点G，连接EG，FG．∵F、G分别是棱AB、AB₁中点，
∴FG∥BB₁，且FG＝

1

2

BB₁．
又∵EC∥BB₁，且EC＝

1

2

BB1，∴FG∥EC，且FG=EC．
∴四边形FGEC是平行四边形．∴CF∥EG．
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．