Question

已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（

已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S △DEF +S △CEF = S △ABC ；（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

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Answer 1

解：图2成立；图3不成立． 图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°， 又∵∠C=90°， ∴DM∥BC，DN∥AC， ∵D为AB边的中点， 由中位线定理可知：DN= AC，MD= BC， ∵AC=BC， ∴MD=ND， ∵∠EDF=90°， ∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°， ∴∠MDE=∠NDF， ∴△DME≌△DNF， ∴S △DME =S △DNF ， ∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF， 由以上可知S 四边形DMCN = S △ABC ， ∴S △DEF +S △CEF = S △ABC ． 图3不成立． 证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°） S △DEF =S △DBF +S 四边形DBFE ， =S △DEC +S 四边形DBFE ， =S 五边形DBFEC ， =S △CFE +S △DBC ， =S △CFE + ， ∴S △DEF ﹣S △CFE = ． 故S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF ﹣S △CEF = S △ABC ．