Question

如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，PD⊥AB于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆

如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，PD⊥AB于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF．（1）求证：B，C，E，D四点共圆；（2）当AB=12，tan∠EAF＝23时，求圆O的半径．

Answer 1

解：（1）由切割线定理PA²=PB?PC
由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA，∴PA²=PD?PE，
∴PA²=PB?PC=PA²=PD?PE，
又∠BPD为公共角，∴△PBD∽△PEC，
∴∠BDP=∠C
∴B，C，E，D四点共圆              
（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，
∵∠PBD=∠F，∴∠F=∠PEC，
∴PE∥AF．
∵AB=12，∴AG=6．
∵PD⊥AB，∴PD∥OG．
∴PE∥OG∥AF，
∴∠AOG=∠EAF．
在Rt△AOG中，tan∠AOG＝tan∠EAF＝

2

3

＝

6

OG

，
∴OG＝9∴R＝AO＝

AG2+OG2

＝3

13

∴圆O的半径3

13

．