Question

已知函数f（x）= x+ 1 x ．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在（0，1]上的

已知函数f（x）= x+ 1 x ．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明．

Answer 1

（1）奇函数 定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称 又∵f（-x）= -x+ 1 -x =-(x+ 1 x )=-f(x) ∴函数f（x）= x+ 1 x 为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数 （2）f（x）在（0，1]上的单调递减 0＜x 1 ＜x 2 ≤1，则0＜x 1 x 2 ＜1，x 1 -x 2 ＜0 ∴ f( x 1 )-f( x 2 )=( x 1 - x 2 )+( 1 x 1 - 1 x 2 ) = ( x 1 - x 2 )+( x 2 - x 1 x 1 x 2 ) = ( x 1 - x 2 )( x 1 x 2 -1) x 1 x 2 ＞0 即f（x 1 ）＞f（x 2 ） 所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数