Question

（文科）已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=

（文科）已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式．（Ⅱ）令Cn=nbn（n∈N+），求{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）设公差为d，公比为q，
则a₂b₂=（3+d）q=12①
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20②
联立①②可得，（3d+7）（d-3）=0
∵{a_n}是单调递增的等差数列，d＞0．
则d=3，q=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ）b_n=2^n-1，c_n=n?2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
T_n=1?2⁰+2?2¹+3?2²+…+n?2^n-1
2T_n=1?2¹+2?2²+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ…（9分）
两式相减可得，-T_n=1?2⁰+1?2¹+1?2²+…+1?2^n-1-n?2ⁿ
∴-T_n=

1?2n

1?2

?n?2n=2ⁿ-1-n?2ⁿ
∴T_n=（n-1）?2ⁿ+1…（13分）