Question

已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝anan+1，(n≥1)，数列{bn}满足bn=lnan，数列{cn}满足cn=an+bn．（Ⅰ）求数

已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝anan+1，(n≥1)，数列{bn}满足bn=lnan，数列{cn}满足cn=an+bn．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）Sn=a1+a2+…+an，Tn=b1+b2+…+bn，试比较Sn-n与Tn的大小，并证明；（Ⅲ）我们知道数列{an}如果是等差数列，则公差d＝an?amn?m(n≠m)是一个常数，显然在本题的数列{cn}中cn?cmn?m(n≠m)不是一个常数，但cn?cmn?m(n≠m)是否会小于等于一个常数k呢，若会，请求出k的范围，若不会，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）根据题意，可得

1

an+1

=

1

an

+1，所以{

1

an

}是等差数列，则其首项

1

a1

=1，公差d=1，
所以

1

an

=1+（n-1）×1=n，从而a_n=

1

n

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=ln

1

n

，构造函数f（x）=lnx-x+1，则f′（x）=

1

x

-1=

1?x

x

；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
即当x≥1时，函数f（x）单调递减，
所以f（x）≤f（1）=0，即任意x＞0，有lnx≤x-1成立，当且仅当x=1时取等号；
又由n＞0，则

1

n

＞0，
令x=

1

n

，可得ln

1

n

≤

1

n

-1，即b_n≤a_n-1，当且仅当n=1时取等号，
所以S_n-n=（a₁-1）+（a₂-1）+…+（a_n-1）≥b₁+b₂+…+b_n=T_n，当且仅当n=1时取等号；
即S_n-n≥T_n，n=1时等号成立；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知cn＝

1

n

+ln

1

n

，不妨设

cn?cm

n?m

≤k恒成立，且n＞m≥1，
则c_n-c_m≤k（n-m），等价于c_n-kn≤c_m-km，
记f（n）=c_n-kn，则f（n）在N^*上单调递减，
所以f（n+1）-f（n）=c_n+1-c_n-k≤0恒成立；
所以k≥(cn+1?cn)max＝?[

1

n(n+1)

+lnn(n+1)]max
记t=n（n+1）≥2，g(t)＝lnt+

1

t

，所以g′(t)＝

1

t

?

1

t2

＝

t?1

t2

＞0，
所以g（t）在[2，+∞）上单调递增，所以g(t)min＝g(2)＝ln2+

1

2

所以k≥?(ln2+

1

2

)为所求范围．