Question

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：4Sn=（an+1）2，n∈N*，（Ⅰ）求数列{an}的通项an和前n项和Sn；（Ⅱ）

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：4Sn=（an+1）2，n∈N*，（Ⅰ）求数列{an}的通项an和前n项和Sn；（Ⅱ）求数列{1anan+1}的前n项和Tn；（Ⅲ）证明：不等式 5836-1n+1＜1S1+1S2+…+1Sn＜2对任意的n＞3，n∈N*都成立．

Answer 1

（1）∵4S_n=（a_n+1）²，n∈N^*，∴4Sn?1＝(an+1)2（n≥2），
∴4an＝(an+1)2?(an?1+1)2，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵正项数列{a_n}，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
又n=1时，4a1＝4S1＝(a1+1)2＞0，
解得a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴a_n=2n-1．
∴Sn＝

1

4

(an+1)2=n²．
（2）由（1）可得：

1

anan+1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
∴Tn＝

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]=

1

2

(1?

1

2n+1

)＝

1

2

?

1

4n+2

．
（3）证明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n?1)n

=1+(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n?1

?

1

n

)=2-

1

n

＜2．
又

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞1+

1

4

+

1

9

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

=1+

1

4

+

1

9

+(

1

4

?

1

5

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)=

58

36

?

1

n+1

（n＞3）
∴不等式 

58

36

-

1

n+1

＜

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2对任意的n＞3，n∈N^*都成立．