Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n+1．（1）证明：数列{an2n}是等差数列，并求数列{an}的通项公

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n+1．（1）证明：数列{an2n}是等差数列，并求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn=an4n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证1≤T＜3．

Answer 1

解答：证明：（1）n=1时，a₁=4；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1+2ⁿ，
∴

an

2n

-

an?1

2n?1

=1，
∴数列{

an

2n

}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴

an

2n

=n+1，
∴a_n=（n+1）?2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=

an

4n

=（n+1）?2^-n，
∴T_n=2?

1

2

+3?

1

22

+…+（n+1）?

1

2n

，
∴

1

2

T_n=2?

1

22

+…+n?

1

2n

+（n+1）?

1

2n+1

，
两式相减，

1

2

T_n=1+

1

22

+…+

1

2n

-（n+1）?

1

2n+1

=

3

2

?

n+3

2n+1

∴T_n=3-

n+3

2n

，
∵y=

n+3

2n

单调递减，T_n=3-

n+3

2n

单调递增，n=1时，T_n=1，n→+∞时，T_n→3，
∴1≤T_n＜3．