Question

已知过抛物线Y^2=2px(p>0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点求

求三角形RAB最大面积

Answer 1

直线斜率和经过的点都是确定的 所以直线是确定的 所以AB的长是定值 即底边是定值 所则旦慎以只要高最大即可 做AB的平行线 显然和抛物线相切时，辆平行线距离最大 即高最大 平行线斜率是1 y=x+b 代入y=2px x+(2b-2p)x+b=0 相切则判别式等于0 4(b-p)-4b=0 -2bp+p=0 p不等于0 b=p/2 x-px+p/4=0 x=p/2 所以切点(p/2,p) F(p/2,0) AB是y=x-p/2 代入 x-3px+p/4=0 x1+x2=3p 准线x=-p/2 则A到准线距离=x1-(-p/2)=x1+p/2 B到准线距离=x2+p/2 由抛物线定义 到准线距离等于到焦点距离 所以AB=AF+BF =A到准线距离+B到准线距离 =x1+x2+p =4p 切点(p/2,p) 到y=x-p/迟缓2距离=|p/2-p-p/2|/√2=p/√2 即高=p/√2 所孙敬以面积=4p*p/√2÷2=√2p