Question

如图已知抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．设抛物线的顶点

如图已知抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．设抛物线的顶点为D，求解下列问题：（1）求抛物线的解析式和D点的坐标；（2）过点D作DF ∥ y轴，交直线BC于点F，求线段DF的长，并求△BCD的面积；（3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）， 把（0，3）代入， 解得a=-1， 解析式为y=-x 2 +2x+3， 则点D的坐标为（1，4）， （2）设直线BC的解析式为y=kx+3，把B（3，0）代入， 解得k=-1，所以F（1，2）， ∴DF=4-2=2， △BCD的面积= 1 2 ×2×1+ 1 2 ×2×2=3 ； （3）①点C即在抛物线上，CD= 2 ，BC= 3 2 ， BD=2 5 ． ∵CD 2 +BC 2 =20，BD 2 =20， ∴CD 2 +BC 2 =BD 2 ， ∴∠BCD=90°， 这时Q与C点重合点Q坐标为Q（0，3）， ②如图②，若∠DBQ为90°，作QP⊥x轴于P，DH⊥x轴于H 可证Rt△DHB ∽ Rt△BPQ， 有 DH BP = HB PQ ， 则点Q坐标（k，-k 2 +2k+3）， 即 4 3-k = 2 k 2 -2k-3 ， 化简为2k 2 -3k-9=0， 即（k-3）（2k+3）=0， 解之为k=3或 k=- 3 2 ， 由 k=- 3 2 得Q坐标： Q(- 3 2 ，- 9 4 ) ， ③若∠BDQ为90°， 如图③，延长DQ交y轴于M， 作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H， 可证明△DEM ∽ △DHB， 即 DE DH = EM HB ， 则 1 4 = EM 2 ， 得 EM= 1 2 ， ∵点M的坐标为 (0， 7 2 ) ，DM所在的直线方程为 y= 1 2 x+ 7 2 ， 则 y= 1 2 x+ 7 2 与y=-x 2 +2x+3的解为 x= 1 2 ， 得交点坐标Q为 ( 1 2 ， 15 4 ) ， 即满足题意的Q点有三个，（0，3），（- 3 2 ，- 9 4 ），（ 1 2 ， 15 4 ）．