Question

已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量a=cos A-B 2 i+ 5 2 sin

已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量a=cos A-B 2 i+ 5 2 sin A+B 2 j的长度为|a|= 3 2 4 ，其中i，j分别是x轴，y轴上的单位向量．（1）求证：tanA?tanB是定值；（2）求tan（A+B）的最小值．

Answer 1

（1）由题意i 2 =1，j 2 =1，i?j=0， 则 |a | 2 = i 2 co s 2 A-B 2 + 5 4 j 2 si n 2 A+B 2 + 2 i?jcos A-B 2 sin A+B 2 = co s 2 A-B 2 + 5 4 si n 2 A+B 2 = 1+cos(A-B) 2 + 5 4 ? 1-cos(A+B) 2 而|a|= 3 2 4 ，则 1+cos(A-B) 2 + 5 4 ? 1-cos(A+B) 2 = 9 8 即4cos（A-B）=5cos（A+B）， 4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，cosAcosB=9sinAsinB， sinAsinB cosAcosB = 1 9 ，即 tanAtanB= 1 9 ． （2）由 tanAtanB= 1 9 ＞0，且A，B，C是△ABC的三个内角， 知tanA＞0，tanB＞0， 则 tan(A+B)= tanA+tanB 1-tanAtanB = tanA+tanB 1- 1 9 = 9 8 (tanA+tanB) ≥ 9 8 ×2 tanAtanB = 9 8 ×2× 1 9 = 3 4 ， 当且仅当 tanA=tanB= 1 3 时，tan（A+B）的最小值为 3 4 ．