（2005?北京）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=23，AA1=3，AD⊥DC，AC⊥BD垂足为E．（Ⅰ）
（2005?北京）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=23，AA1=3，AD⊥DC，AC⊥BD垂足为E．（Ⅰ）求证BD⊥A1C；（Ⅱ）求二...
（2005?北京）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=23，AA1=3，AD⊥DC，AC⊥BD垂足为E．（Ⅰ）求证BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小；（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小．
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法一：
（I）在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；
（II）连接A1E，C1E，A1C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角．
∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，
又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2
，AA1=
且AC⊥BD，
∴A1C1=4，AE=1，EC=3，∴A1E=2，C1E=2
，
在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，∴∠A1EC1=90°，
即二面角A1-BD-C1的大小为90°．
（III）过B作BF∥AD交AC于F，连接FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．
∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，
∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，∴FC1=
，BC1=
，
在△BFC1中，cos∠C1BF=
=
（I）在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；
（II）连接A1E，C1E，A1C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角．
∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，
又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2
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∴A1C1=4，AE=1，EC=3，∴A1E=2，C1E=2
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在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，∴∠A1EC1=90°，
即二面角A1-BD-C1的大小为90°．
（III）过B作BF∥AD交AC于F，连接FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．
∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，
∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，∴FC1=
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在△BFC1中，cos∠C1BF=
| 15+4?7 | ||
1?2?
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