Question

已知函数f（x）=3x?m3x+1是奇函数；（1）求m的值；（2）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数

已知函数f（x）=3x?m3x+1是奇函数；（1）求m的值；（2）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

（1）解：∵函数f（x）=

3x?m

3x+1

是奇函数，
∴f（0）=

30?m

30+1

＝

1?m

2

＝0，即m=1；
（2）证明：f(x)＝

3x?1

3x+1

＝1?

2

3x+1

任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)?f(x2)＝

2

3x2+1

?

2

3x1+1

=

2(3x1?3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，
∴

2(3x1?3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0．
故：f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．