Question

定义在（-1，1）上的函数f（x），同时满足下列两个条件：①对于任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y

定义在（-1，1）上的函数f（x），同时满足下列两个条件：①对于任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy）；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；（3）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

（1）令x=y=0?f（0）=0，
（2）f（x）在（-1，1）上是奇函数
∵对于任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）
∴令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0?f（-x）=-f（x）?f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（3）f（x）在（0，1）上单调递减
证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1?x2

1?x1x2

）．
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜

x1?x2

1?x1x2

＜0
∵当x∈（-1，0）时，f（x）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1?x2

1?x1x2

）＞0
即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．