Question

关于一个排列组合的数学问题

举个简单的例子作为示范：

现有甲乙丙3个人，从其中任选2个人去参见某项活动，请问甲被选中的概率为多少？

我有两种解题思路：

（由于没去上学，高中课本里面的排列组合是自习的，所以也不知道规范不）

第一种，用排列求解：
a、首先是3中取2，一共有6种排列，也就是排列数为A=6，
b、甲被选到可以分为两类：①甲、X： 1X2
②X、甲： 1X2，
c、那么甲被选到的概率为：（①+②）：A ☞ 2/3。

第二种，用组合求解：
a、同样3中取2，一共有3种组合，也就是组合数B=3，
b、由于有两人组成，甲被选到后占了一个位置，剩下一个位置上可以是乙或丙，
所以组合数C：2中取1，有两种，也就是C=2，
c、那么甲被选到的概率为：C：B=2/3。

疑问：
1、上面的解题思路是正确的吗？
2、有什么地方不对，或者描述不恰当的地方吗？
3、如果是正确的，那么我再问一个问题，看看大家能用这两种思路解这个题目不，就 是把这种思路推广到其他题目上面。（呵呵，见笑了，知道意思就可以，别扣字眼）

问题：现有15个大小形状相同的小球，其中6个白球、5个黑球、4个红球，若同三向其中取三个，问拿到白球、黑球、红球各为1个的概率是多少？

4、用上面两种思路解答？
5、有更好的思路吗?

Answer 1

上边的思路是对的。
对于下边这道题我没用你那种思路想过，不过我觉得那种方法可能不对，而且比较麻烦。
我的思路是：
a.同时取3个球共有C（3,15）=455种方法。
b.拿到白球、黑球、红球各为1个分别为C(1,6),C(1,5),C(1,4)。
所以拿到白球、黑球、红球各为1个的概率=C(1,6)×C(1,5)×C(1,4）/C（3,15）=24/91

追问

我用排列算答案跟你一样的
a、一共有A（3,15）=15X14X13种，
b、拿到白球、黑球、红球各为1个，也就是3中取3，也就是A（3，3）=6类，
c、每一种的排列数都是6X5X4，那么有6类，取到三种球的所有排列为6X6X5X4种，
d、概率为6X6X5X4 / 15X14X13 ☞ 24/91

疑问：1、你用的方法是组合吗呵呵，我也不太懂。
2、答案是48/91，你确定你是正确的吗？我也有怀疑答案是错误的。

Answer 2

【1】全部选法数=C(3,2)=3种。【2】甲被选中数=（甲，乙）+（甲，丙）=2种。∴甲被选中概率P=2/3.

Answer 3

我的算法是：比如15个球中先拿到白球，概率6/15,再14个球中拿到黑球，概率5/14,再在13个球中拿到红球，概率4/13。再考虑拿球的顺序有6种，那么白球、黑球、红球各为1个的概率是（6*6*5*4）/(15*14*13)=24/91。

Answer 4

你的第一这种做法是错误的，你对排列的定义还没理解透，排列是有顺序的，这题考的是组合

追问

就是因为排列有顺序的，我才分了两类啊~~~ 可以甲第一位有两种，甲第二位两种
还有你没有回答我的问题呀。。。。

追答

想自学，第一是吃透课本，这不是排列的问题，排列最形象的解释是排队。你看到哪个课本上像你这种问题用排列做的呀。看到你的第一种做法就错的离谱，就不想再看下面了。当年我也是自学的，就没你那么差。

追问

哦 谢谢。。。

追答

不要轻易否定答案，编写答案的人比你还是有水平的。排列方面你还是多看些书吧，看你的算法让你揪心

追问

那你说你的算法吧，看看你算出是多少。。。。

Answer 5

12分之1 6+5+1=12 1/12=12/1 （也可能是11/1）

Answer 6

排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。例如，abc与abd的元素不完全相同，它们是不同的排列；又如abc与acb，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。

组合的定义：
从m个不同的元素里，每次取出n个元素，不管以怎样的顺序并成一组，均称为组合。

它们的区别在于排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合。

现在回答你的问题：
上面的解题思路是正确的。
但是如果你下面的题也同样采用上面的方法一（即用排列的方法），则过程是很复杂的，它要求将所有可能的排列顺序都罗列出来才才能求出概率。（具体是：红白黑、红黑白、白黑红、白红黑、黑白红、黑红白）。
a、首先从15个中取三个来排列，所以A=15*14*13=2730
b、白黑红色球各取一个，则需要在6个白球、5个黑球、4个红球中各取一个，有6*5*4=120种取法，然后再将取出来的球进行排列B=120*6=720种不同的排列。
c、所以其概率为：B:A=24/91

显然这里使用组合的方法是很方便的，由于不考虑每次取到球的颜色先后顺序，我们直接采用组合求解：
a、首先从15个中取3个，所以B=（15*14*13）/（3*2*1）=455
b、由于要求在白黑红球各取一个，所以C=6*5*4=120
c、答案即为C:B=24/91

还有更好的方法，则是用到大学概率统计中分布函数的方法，直接使用超几何分布公式即可求解。这里不作介绍。

希望能帮到你！