Question

a+b=1,如何求得a^2+b^2≥1/2(a+b)^2？ 希望给出详细过程。

Answer 1

解：因为（a-b)^2≥0
所以 a^2+b^2+2ab-4ab≥0
所以（a+b)^2≥4ab
两边除以2可得[（a+b)^2]/2≥2ab
所以-[（a+b)^2]/2≤-2ab
所以(a+b)^2-[（a+b)^2]/2≤-2ab+(a+b)^2
所以a^2+b^2≥1/2(a+b)^2

Answer 2

首先由（a-b）²≥0得到
a²+b²≥2ab （1）
又因为（a+b）²=1
即a²+b²+2ab=1
根据（1）
所以a²+b²≥1/2
即a^2+b^2≥1/2(a+b)^2

追问

你根据1后面的那堆式子怎么来的？怎么就≥1/2了？然后怎么就即了

Answer 3

此题考察的是均值不等式的证明问题。
将这个式子整理可得2A^2+2B^2≥（A+B)^2
将后后面的完全平方展开，和前面的进行合并。
得到的是A^2+B^2≥2AB
此时要讨论A和B的取值范围。
一直A+B=1可能有三种情况，A,B（1）同正，（2）同负，（3）或者一正一负。
（1）同正，是均值不等式成立的条件。不必解释。
（2）若同负，A+B=1不成立。与已知矛盾，不必讨论。
（3）最后A,B在一正一负的情况明显成立（左正＞右负）。

Answer 4

化简 a^2+b^2 - 1/2(a^2+b^2+2ab) = 1/2(a^2+b^2-2ab)=1/2(a-b)^2 >=0