Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD＝3 cm，

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD＝3 cm， （1）求⊙O的直径。（2）若动点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动。同时点N以1.5cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动。设运动的时间为t(0≤t≤2)，连结MN，当t为何值时△BMN为Rt△？并求此时该三角形的面积？





Answer 1

（1）6cm （2） （cm 2 ）

（1）解：∵AB是⊙O的直径. ∴∠ACB＝90°  ……………………（0.5＇） 又∠A＝30° ∴∠ABC＝60° ………………………（1＇） 连接OC，因CD切⊙O于C，则∠OCD＝90°  …………（2＇） 在△OBC中 ∵OB＝OC，∠ABC＝60° ∴∠OCB＝60° ∴∠BCD＝30°      …………………………………（2.5＇） 又∠OBC＝∠BCD＋∠D ∴∠D＝30° …………………………………………（3＇） ∴AC＝CD＝3  …………………………………（3.5＇） 在Rt△ABC中，cosA＝ ∴AB＝ ＝ ＝6（cm）……………………（5＇） （2）△BMN中，①当∠BNM＝90°时，cos∠MBC＝ 即cos60°＝            ∴t＝1     ………（6＇） 此时BM＝3   BN＝1.5   MN＝ ＝    ……（7＇） ∴S△ BMN ＝ BN·MN＝  （cm 2 ）    …………………（8＇） ②当∠NMB＝90°时，cos∠MBC＝ 即cos60°＝        ∴ t＝1.6    ………………（9＇） 此时BM＝ BN＝   MN＝ ＝   （10＇） ∴S△ BMN ＝ BM·MN＝ × × ＝ （cm 2 ） ………………（11＇）