Question

已知数列 的前 项的和为 ， ，求证：数列 为等差数列的充要条件是

已知数列 的前 项的和为 ， ，求证：数列 为等差数列的充要条件是 ．

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Answer 1

详见解析．

试题分析：从两个方面来证明此题：若数列 为等差数列，则其前 项和 是关于 的二次函数，且常数项为 ,即 ；若 的前 项和 中 ，可根据其前 项和 求出通项公式，从而可以证明其为等差数列． 试题解析：证：若数列 为等差数列，则其前 项和 ， 是关于 的二次函数，且常数项为 ，而 的前 项和 ，所以 ； 反过来，当数列 的前 项和 中 ，则 ，当 时， ， 时，  ，因为 也符合 ，所以数列 的通项公式为 ， ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列． 综上所述，数列 为等差数列的充要条件是 ． 项和公式以及充分必要条件的关系．