Question

若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点A（1，0）、B（-3，0），与y轴的负半轴交于点C

若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点A（1，0）、B（-3，0），与y轴的负半轴交于点C，且S△ABC=6．（Ⅰ）求该二次函数的解析式和顶点P的坐标；（Ⅱ）经过A、B、P三点画⊙O′，求⊙O′的面积；（Ⅲ）设抛物线上有一动点M（a，b），连AM，BM，试判断△ABM能否是直角三角形？若能，求出M点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵y轴的负半轴交于点C（0，c），
∴c＜0，
∵A（1，0）、B（-3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×|c|=6，
∴c=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），
∴

a+b+c＝0 9a?3b+c＝0 c＝?3

，
解得：

a＝1 b＝2 c＝?3

，
∴该二次函数的解析式为：y=x²+2x-3，
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴顶点P的坐标为（-1，-4）；

（Ⅱ）如图：根据题意得：PA=PB，
过点P作PC⊥AB于C，
∴AC=BC，
∴O′在PC上，
设O′的坐标为（-1，m），
∵O′P=O′B=

BC2+O′C2

，
∴m-（-4）=

4+m2

，
解得：m=-

3

2

，
∴O′P=-

3

2

+4=

5

2

，
∴⊙O′的面积为：

25

4

π；

（Ⅲ）存在．
设抛物线上有一动点M（x，x²