Question

在△ABC中，∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．（1）证明：AH=2BD；（2）若将∠BAC

在△ABC中，∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．（1）证明：AH=2BD；（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBE，即∠EAH=∠CBE，
在△AHE和△BCE中，

∠EAH＝∠CBE AE＝BE ∠AEH＝∠BEC＝90°

，
∴△AHE≌△BCE（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC，即BC=2BD，
则AH=2BD；
（2）解：若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立，
证明：如图2，∵AD⊥BC，BE⊥AE，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBE，即∠EAH=∠CBE，
在△AHE和△BCE中，

∠EAH＝∠CBE AE＝BE ∠AEH＝∠BEC＝90°

，
∴△AHE≌△BCE（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC，即BC=2BD，
则AH=2BD．